23- DISTRIBUIÇÃO ESTOCÁSTICA
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23- DISTRIBUIÇÃO ESTOCÁSTICA |
Prever o tamanho de uma chuva e a data em que ela vai ocorrer é uma ciência que depende de observação e estatística. Existem inúmeros métodos para se prever ou advinhar a chuva. O mais usual é baseado na observação do comportamento dos animais. A chuva está próxima quando: - os pássaros estão voando baixo; - há muitas pombas pousadas no fio elétrico; - as gaivotas deixaram de voar; - as vacas deitam-se no chão; - as formigas migram para um local alto; - as folhas murcham; - aumentam as dores reumáticas. Todos esses "métodos" não possuem base científica. A engenharia se ocupa do projeto e do planejamento de execução de uma obra futura, uma obra que vai ser ainda construída e que deverá funcionar bem durante muitos anos. Chama-se Vida Útil de Projeto e a duração de bom funcionamento depende do tipo de obra. Residência, Estrada, Hidrelétrica, Viaduto, Ponte, etc. A norma brasileira NBR-15575 Desempenho prevê que as estruturas de um edifício tenham um VUP de pelo menos 60 anos. Excepcionalmente pode ser aceito uma VUP de 40 anos, que embora abaixo dos níveis aceitos internacionalmente, é aceito em função das condições socioeconômicas existentes no Brasil na época de aprovação da norma (2008). No caso das chuvas, e consequentemente das vazões de enxurradas nas ruas, cheias de rios, etc. não é possível prever, com exatidão o tamanho e a data da chuva. Entretanto, a chuva é um fenômeno natural de ocorrência cíclica, sazonal e estatisticamente previsível. Não se sabe quando, em que mês e ano, vai ocorrer uma chuva de 120 mm/hora em determinada cidade mas pode-se calcular a probabilidade em que esta chuva de 120 mm/h vai ocorrer. Quando não se tem nenhum dado sobre as precipitações de um local será muito difícil prever as chuvas futuras. Mas, felizmente, todos os recantos brasileiros possuem dados históricos registrados sobre chuvas e sobre vazões de rios. A análise estatística sobre os dados registrados nos fornecem importantes grandezas estatísticas que nos permitem calcular com grande precisão, o tamanho das chuvas numa bacia. ESTOCÁSTICO:
Entende-se como estocástico um fenômeno de ocorrência “aleatória” ou
‘pseudo-aleatória” que, à primeira vista, se apresenta como sendo totalmente
imprevisível, ou seja, ninguém é capaz de saber, antes, o número que vai
surgir. Um Exemplo:
O lançamento de um dado pode ser um evento
totalmente aleatório. Nos primeiros lançamentos, sabendo que o dado tem 6
faces, podemos afirmar que há probabilidade de 1/6 de surgir um determinado
número e que todos os seis números do dado tem exatamente a mesma
probalidade de surgimento, isto é, a probabilidade de surgir o número 3 ou 5
é exatamente a mesma. Entretanto, depois de um certo número grande de
lançamentos, poderíamos, antes de fazer qualquer afirmação, levar em
consideração as quantidades individuais de números que já tenham surgido.
Computando-os veremos que cada um dos números, de 1 a 6, surgiram em
quantidades distintas. Por exemplo, em 600 jogadas jamais conseguiremos
obter as quantidades de exatos 100 surgimentos para cada número. Estudando com muito cuidado e muita atenção os
números que surgem nos dados de um famoso cassino em Monte Carlo, um
matemático percebeu que, embora a probabilidade matemática seja exatamente
igual para todos os números do dado, na prática essa igualdade não se
verifica. A realidade não segue rigorosamente as leis da matemática. Pode ter milhares de justificativas para a igualdade
não se verificar, começando pelo pequena diferença do peso dos lados do
dado, a mão do jogador que faz um efeito ao lançar, a rugosidade da
superfície da mesa e muitas outras desculpas. Mas o fato é real, foi
comprovado e re-comprovado, isto é, a igualdade matemática da probabilidade
para cada numero do dado não acontece na prática e a isso se chamou
Simulação de Monte Carlo. Na natureza encontramos muitas aplicações onde os
eventos ocorrem, aparentemente, de forma aleatória mas, na verdade, a
aleatoriedade não é totalmente aleatória. Por exemplo, a quantidade de
pessoas numa fila de banco, carros num pedágio de rodovia, a vazão de água
de um rio e até mesmo a quantidade de água que cai numa chuva. No banco, por exemplo, o fluxo de pessoas é
variável, começando, geralmente, com poucas pessoas que vai aumentando
gradativamente e culminando com o horário do almoço quando se verifica as
maiores filas. É aleatório e podemos prever a quantidade de pessoas em cada
hora do dia mas sabemos que no horário do almoço a quantidade é sempre
maior. Então não podemos considerar como sendo totalmente aleatório e existe
uma condição de contorno que faz com que a quantidade, embora aleatória,
seja maior em determinado período. Chamamos isso de Pseudo-Aletório, isto é,
é aleatório porém há regras dessa aleatoriedade. O mesmo acontece num pedágio de rodovia onde sabemos
que a quantidade de carros num determinado horário é aleatória mas com uma
condição de contorno segundo a qual em feriados a quantidade, ainda que
aleatória, é maior. Tembém, no estudo das vazões de um rio,
podemos admitir uma certa aleatoriedade na vazão em determinado dia mas o
valor da vazão não poderá ser maior que chuva que caiu em horas ou dias
anteriores. A chuva é condição de contorno para as vazões do rio. Voltando à questão dos dados, se temos em mãos as
quantidades em que cada número do dado saiu, em um número muito grande de
jogadas, é razoável esperar que aquele número que mais saiu tenha mais
chance de surgir novamente. Pode até acontecer o Azarão como numa corrida de
cavalos ou num jogo de futebol mas é sempre grande a probabilidade do
favorito vencer. Como é feita a
Simulação Monte Carlo. O método se concentra na análise dos dados reais e,
portanto, é imprescindível que se tenha em mãos uma quantidade muito grande
de dados coletados. Quando maior a quantidade mais precisa será a simulação. PREVISÃO DE ENCHENTES Na previsão de enchentes, o enfoque estatístico para se determinar a magnitude das vazões de pico das cheias consistem em definir uma relação entre as descargas máximas e as correspondentes frequências de ocorrência, a partir do estudo de uma série de dados observados. A suposição básica é que as cheias verirfcadas durante um determinado período passado possam ocorrer em um período futuro de características hidrológicas similares, isto é, com um a experctativa de repetição. As funções matemáticas mais empregadas são: 1 - Distribuição Gama, tamb[ém conhecida como distribuição de Pearson Tipo III; 2 - Transformação Logaritmica da distribuição gama, também conhecida com distribuição Log-Pearson Tipo II; 3 - Transformação de potência da distribuição gama, também conhecida como distribuição de Kritskiy-Menkel; 4 - Distribuições Exponenciais, também conhecidas como distribuições de valores extremos ou distribuições de Fisher-Tripett, que são de três tipos: Tipo I, Duplo Exponencial, conhecida como Distribuição Bumbel, Tipo II, conhecida como distribuição de Fréchet e Tipo III, conhecida como distribuição de Goodrich ou Weibull. 5 - Distribuição Gaussiana ou Distribuição Normal; 6 - Transformação Logarítmica da distrbuição normal, também conhecida como distribuição log-normal ou Distribuição de Galton. Em princípio, não há nenhuma razão para considerar um dos modelos como melhor que o outro. Em bom estudo de Ajuste de Curvas irá ser decisivo na confiabilidade do modelo adotado. Ven Te Chow mostrou que a maioria das distribuições de probabilidade usadas nos estudos hidrológicos pode ser posta na forma: XTr = X + K.s onde XTr é a magnitude do evento que é atingida ou superada pelo menos uma vez em Tr anos, X é o valor médio da variável considerada, s é o desvio-padrão e K é o chamado fator de frequência. O fator de frequência depende do tipo de distribuição, da frequência (ou período de retorno) e do coeficiente de assimetria. EXERCÍCIOS: Fonte: Hidrologia Aplicada CIV 216 - www.em.ufop.br/deciv/departamento/~carloseduardo/1Previsao%20de%20Enchentes.pdf 1 - Uma Hidrelétrica tem vida útil de 50 anos. Quais os riscos que se corre se seu vertedouro é projetado para uma cheia de tempo de recorrência igual a Vida Útil, ou a 1.000 anos ou a 10.000 anos.
2 - Qual o período de retorno a considerar no projeto da hidrelétrica com vida útil de 50 anos, se se admite um risco de 10%? Tr = 475 anos. 3 - Que período de retorno deve o engenheiro adotar no projeto de uma Gleria de Drenagem de uma rodovia, se ele está disposto a aceitar somente 10% de risco de que a obra falhe nos próximos 5 anos? Tr = 48 anos. 4 - Uma ensecadeira deverá ser construída para proteger as atividades de construção de uma barragem duratne os 5 anos da obra. Se a ensecaderia é projetada para resistir uma cheia de 20 anos, qual o risco que a estrutura venha a ser sobrepassda a) no primeiro ano?; b) em um ano qualquer dos 5 anos de construção da barragem?; c) em nenhum ano dos 5 anos de construção?
PREVISÃO ESTOCASTICA A previsão estocástica se baseia numa série de precipitações ou de vazões de rios observados. Os números registrados são, primeiramente, submetidos a uma regressão e também a uma correlação. Há sempre a possibilidade de êrro na coleta ou registro de dados. Isso acontece com maior frequencia nos postos remotos onde a EXEMPLO PRÁTICO: Anexamos a listagem de um programa de computador na liguagem FORTRAN do computador IBM-1130 desenvolvido em julho de 1970 para geração de vazões estocásticas utilizado na Simulação de Recursos Hídricos do Alto Tietê. PROGRAMA FONTE:
DADOS: 45 86.50 89.70 80.90 87.70 111.00 176.00 121.00 81.60 63.70 53.80 58.30 43.80 60.10 46.00 72.90 160.00 199.00 216.00 122.00 112,00 80.50 69.80 62.50 67.20 64.60 88.10 142.00 148.00 130.00 91.90 103.00 81.50 63,60 56.80 59.80 62.70 79.00 79.80 131.00 145.00 214.00 157.00 107.00 82.50 71.50 58.40 51.20 62.10 79.70 76.50 137.00 147.00 120.00 152.00 84.40 104.00 80.40 61.40 61.90 51.90 67.40 60.60 113.00 112.00 81.60 66.30 53.40 54.20 44.00 41.40 36.30 52.20 50.70 50.80 85.20 154.00 107.00 95.40 75.30 55.00 46.50 41.30 37.10 46.10 51.00 47.90 132.00 93.60 211.00 125.00 90.00 65.00 58.70 46.80 43.20 59.00 84.00 57.40 50.00 63.50 74.30 199.00 124.00 74.10 57.50 48.30 50.30 61.40 50.70 50.10 90.80 131.00 122.00 75.30 84.60 80.90 61.30 44.00 39.60 34.80 60.60 80.70 109.00 132.00 148.00 120.00 93.50 75.80 71.50 56.40 70.70 66.90 91.20 89.60 99.00 131.00 126.00 95.50 139.00 78.10 62.40 55.00 41.70 43.30 45.40 63.50 85.90 155.00 201.00 120.00 81.20 68.20 52.60 43.80 38.80 40.40 57.00 64.50 80.90 96.00 92.20 97.80 66.10 47.40 40.90 41.30 31.40 73.10 73.70 75.20 103.00 99.90 102.00 94.70 90.40 59.60 50.20 55.30 40.60 39.00 42.80 57.40 91.60 96.20 97.60 95.70 59.90 42.40 42.00 35.30 41.80 35.60 55.10 49.70 70;80 83.80 181.00 201.00 95.40 77.30 55.00 47.40 39.00 38.60 37.50 61.60 57.40 88.80 169.00 123.00 104.00 67.00 84.40 64.90 44.10 49.20 42.40 52.60 63.50 131.00 95.20 117.00 89.30 56.00 52.50 46.10 37.30 30.80 65.90 64.00 69.80 170.00 171.00 190.00 117.00 83.60 109.00 85.70 75.10 88.40 89.20 105.00 153.00 131.00 184.00 176.00 119.00 102.00 81.10 64.60 67.70 61.80 56.30 63.90 79.60 144.00 131.00 112.00 88.40 58.80 64.50 57.30 47.20 46.20 52.90 66.50 79.60 161.00 227.00 196.00 138.00 107.00 81.20 65.70 49.40 48.50 67.00 75.90 140.00 167.00 178.00 202.00 153.00 101.00 80.40 72.80 64.70 51.90 68.50 62.60 81.70 140.00 193.00 172.00 99.50 72.60 88.00 61.20 52.30 60.00 50.10 70.70 75.80 53.80 86.70 74.00 80.90 69.40 48.90 42.40 42.10 40.50 42.70 71.60 63.00 61.20 80.10 73.30 60.00 70.70 50.30 39.30 34.00 34.80 51.70 43.60 53.20 97.60 60.00 65.10 65.00 47.60 40.90 35.00 34.40 33.30 35.50 73.00 72.30 74.40 83.00 117.00 72.30 80.90 71.40 49.90 64.40 46.00 55.50 60.40 71.70 126.00 98.70 121.00 111.00 70.30 59.40 53.70 46.10 77.30 53.70 83.20 75.60 101.00 108.00 111.00 96.80 115.00 88.70 65.90 54.90 64.20 71.40 111.00 134.00 134.00 159.00 131.00 121.00 74.10 57.40 48.90 51.00 43.20 45.40 65.30 58.20 80.40 159.00 144.00 78.80 68.60 55.60 63.60 53.30 47.50 38.50 77.40 114.00 133.00 246.00 198.00 140.00 95.00 77.70 71.70 63.00 53.10 38.50 54.20 89.60 89.50 217.00 158.00 90.40 73.20 66.90 54.60 57.80 62.60 71.60 80.00 127.00 146.00 154.00 99.00 86.00 58.30 60.40 50.00 45.40 26.50 49.00 70.80 55.80 65.70 111.00 81.40 72.20 62.30 49.50 53.50 44.10 41.30 55.20 60.00 89.70 162.00 110.00 116.00 82.00 84.10 68.00 60.10 46.80 48.10 70.20 70.10 114.00 159.00 117.00 165.00 127.00 86.30 62.90 57.90 62.10 56.90 74.20 123.00 150.00 218.00 312.00 279.00 147.00 102.00 92.60 81.40 64.70 71.00
RESULTADOS: MES MEDIA VAZOES DESVIO PADRAO 1 60.4 18.293 2 71.0 21.358 3 95.1 32.676 4 124.4 41.374 5 144.4 58.390 6 135.4 52.537 7 99.9 29.689 8 76.7 21.139 9 65.8 18.443 10 5.8 14.296 11 51.0 14.002 12 53.8 18.990
MES CORRELACOES 1 0.521 2 0.347 3 0.467 4 0.430 5 0.416 6 0.551 7 0.580 8 0.487 9 0.527 10 0.587 11 0.513 12 0.427
MES BETA GAMA 1 0.502 15.605 2 0.405 20.027 3 0.715 28.879 4 0.545 37.334 5 0.588 53.079 6 0.496 43.822 7 0.327 24.185 8 0.347 18.456 9 0.460 15.666 10 0.455 11.570 11 0.503 12.013 12 0.579 17.158
1 50.00 50.00 2 64.10 96.47 3 80.00 119.04 4 102.00 60.79 etc 10 81.40 65.98 11 64.70 71.86 12 71.00 75.03
VAZAO (M3/S) 0.0 100.0 200.0 400.00 ************************************ ... **** 1 * GL * * * 2 L G* * * 3 * L * G * * 4 * G *L * * 5 * * L G * * etc. 11* LG * * * 12* LG* * * ************************************ ... ****
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\ET5\chuvas\estocastico.htm em 25/01/2013, atualizado em 31/03/2020.
