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23- DISTRIBUIÇÃO ESTOCÁSTICA

 

Prever o tamanho de uma chuva e a data em que ela vai ocorrer é uma ciência que depende de observação e estatística.

Existem inúmeros métodos para se prever ou advinhar a chuva. O mais usual é baseado na observação do comportamento dos animais. A chuva está próxima quando:

- os pássaros estão voando baixo;

- há muitas pombas pousadas no fio elétrico;

- as gaivotas deixaram de voar;

- as vacas deitam-se no chão;

- as formigas migram para um local alto;

- as folhas murcham;

- aumentam as dores reumáticas.

Todos esses "métodos" não possuem base científica.

A engenharia civil se ocupa do projeto e do planejamento de execução de uma obra futura, uma obra que vai ser ainda construída e que deverá funcionar bem durante muitos anos.

Chama-se Vida Útil de Projeto e a duração de bom funcionamento depende do tipo de obra. Residência, Estrada, Hidrelétrica, Viaduto, Ponte, etc.

A norma brasileira NBR-15575 Desempenho prevê que as estruturas de um edifício tenham um VUP de pelo menos 60 anos. Excepcionalmente pode ser aceito uma VUP de 40 anos, que embora abaixo dos níveis aceitos internacionalmente, é aceito em função das condições socioeconômicas existentes no Brasil na época de aprovação da norma (2008).

No caso das chuvas, e consequentemente das vazões de enxurradas nas ruas, cheias de rios, etc. não é possível prever, com exatidão o tamanho e a data da chuva.

Entretanto, a chuva é um fenômeno natural de ocorrência cíclica, sazonal e estatisticamente previsível.

Não se sabe quando, em que mês e ano, vai ocorrer uma chuva de 120 mm/hora em determinada cidade mas pode-se calcular a probabilidade em que esta chuva de 120 mm/h vai ocorrer.

Quando não se tem nenhum dado sobre as precipitações de um local será muito difícil prever as chuvas futuras.

Mas, felizmente, todos os recantos brasileiros possuem dados históricos registrados sobre chuvas e sobre vazões de rios.

A análise estatística sobre os dados registrados nos fornecem importantes grandezas estatísticas que nos permitem calcular com grande precisão, o tamanho das chuvas numa bacia.

PREVISÃO DE ENCHENTES

Na previsão de enchentes, o enfoque estatístico para se determinar a magnitude das vazões de pico das cheias consistem em definir uma relação entre as descargas máximas e as correspondentes frequências de ocorrência, a partir do estudo de uma série de dados observados.

A suposição básica é que as cheias verirfcadas durante um determinado período passado possam ocorrer em um período futuro de características hidrológicas similares, isto é, com um a experctativa de repetição.

As funções matemáticas mais empregadas são:

1 - Distribuição Gama, tamb[ém conhecida como distribuição de Pearson Tipo III;

2 - Transformação Logaritmica da distribuição gama, também conhecida com distribuição Log-Pearson Tipo II;

3 - Transformação de potência da distribuição gama, também conhecida como distribuição de Kritskiy-Menkel;

4 - Distribuições Exponenciais, também conhecidas como distribuições de valores extremos ou distribuições de Fisher-Tripett, que são de três tipos:

Tipo I, Duplo Exponencial, conhecida como Distribuição Bumbel,

Tipo II, conhecida como distribuição de Fréchet e

Tipo III, conhecida como distribuição de Goodrich ou Weibull.

5 - Distribuição Gaussiana ou Distribuição Normal;

6 - Transformação Logarítmica da distrbuição normal, também conhecida como distribuição log-normal ou Distribuição de Galton.

Em princípio, não há nenhuma razão para considerar um dos modelos como melhor que o outro.

Em bom estudo de Ajuste de Curvas irá ser decisivo na confiabilidade do modelo adotado.

Ven Te Chow mostrou que a maioria das distribuições de probabilidade usadas nos estudos hidrológicos pode ser posta na forma:

XTr = X + K.s

onde XTr é a magnitude do evento que é atingida ou superada pelo menos uma vez em Tr anos, X é o valor médio da variável considerada, s é o desvio-padrão e K é o chamado fator de frequência.

O fator de frequência depende do tipo de distribuição, da frequência (ou período de retorno) e do coeficiente de assimetria.

EXERCÍCIOS:

Fonte: Hidrologia Aplicada CIV 216 - www.em.ufop.br/deciv/departamento/~carloseduardo/1Previsao%20de%20Enchentes.pdf

1 - Uma Hidrelétrica tem vida útil de 50 anos. Quais os riscos que se corre se seu vertedouro é projetado para uma cheia de tempo de recorrência igual a Vida Útil, ou a 1.000 anos ou a 10.000 anos.
TEMPO DE RECORRÊNCIA RISCO
Vida útil da obra 63%
1.000 anos 4,8%
10.000 anos 0,5%

2 - Qual o período de retorno a considerar no projeto da hidrelétrica com vida útil de 50 anos, se se admite um risco de 10%?

Tr = 475 anos.

3 - Que período de retorno deve o engenheiro adotar no projeto de uma Gleria de Drenagem de uma rodovia, se ele está disposto a aceitar somente 10% de risco de que a obra falhe nos próximos 5 anos?

Tr = 48 anos.

4 - Uma ensecadeira deverá ser construída para proteger as atividades de construção de uma barragem duratne os 5 anos da obra. Se a ensecaderia é projetada para resistir uma cheia de 20 anos, qual o risco que a estrutura venha a ser sobrepassda a) no primeiro ano?; b) em um ano qualquer dos 5 anos de construção da barragem?; c) em  nenhum ano dos 5 anos de construção?
PERÍODO RISCO
a 5,0%
b 22,6%
c 77,4%

PREVISÃO ESTOCASTICA

A previsão estocástica se baseia numa série de precipitações ou de vazões de rios observados.

Os números registrados são, primeiramente, submetidos a uma regressão e também a uma correlação.

Há sempre a possibilidade de êrro na coleta ou registro de dados. Isso acontece com maior frequencia nos postos remotos onde a

EXEMPLO PRÁTICO:

Anexamos a listagem de um programa de computador na liguagem FORTRAN do computador IBM-1130 desenvolvido em julho de 1970 para geração de vazões estocásticas utilizado na Simulação de Recursos Hídricos do Alto Tietê.

PROGRAMA FONTE:

 

 

DIMENSION WA(100)

 

 

DIMENSION V(12,50),E(12),S(12),CV(12),R(12),BETA(12),GAMA(12)

 

 

DIMENSION VN(12,50),WE(100)

 

 

COMMON RHO,BN

 

 

DATA WE/100*´ ´/

 

 

DATA WA/100*´    ´/,ASTER/´*´/,VALOR/´L´/,BCO/´´/,VALER/´G´/

 

 

DATA IL,IW/8,5/

 

 

READ(IL,100)N

100

 

FORMAT(I3)

 

 

DO 202 I=1,N

 

 

READ(IL,101)(V(J,I),J=1,12)

101

 

FORMAT(14X,12(1X,F4.1))

202

 

CONTINUE

 

C

CALCULO DA MEDIA E DESVIO PADRAO

 

 

XN=N

 

 

WRITE(IW,102)

102

 

FORMAT(1H ,10X,´MES    MEDIA VAZOES    DESVIO PADRAO´//)

 

 

DO 200 I=1,12

 

 

A=0.0

 

 

B=0.0

 

 

DO 201 J=1,N

 

 

A=A+V(I,J)

201

 

B=B+V(I,J)**2

 

 

E(I)=A/XN

 

 

S(I)=SQRT(B/(XN-1.0)-E(I)**2)

 

 

WRITE(IW,103)I,E(I),S(I)

103

 

FORMAT(1H ,10X,I2,8X,F5.1,11X,F7.3)

200

 

CONTINUE

 

C

CALCULO DAS COVARIANCAS E CORRELACOES

 

 

WRITE(IW,104)

104

 

FORMAT(///,11X,´MÊS    CORRELACOES´//)

 

 

DO 500 I=1,12

 

 

A=0.0

 

 

IF(I-1)260,250,260

250

 

K=12

 

 

DO 301 J=2,N

301

 

A=A+(V(I,J)-E(I))*(V(K,J-1)E(K))

 

 

CV(I)=A/(XN-1)

 

 

GO TO 302

260

 

K=I-1

 

 

DO 300 J=1,N

300

 

A=A+(V(I,J)-E(I)*(V(K,J)-E(K))

 

 

CV(I)=A/XN

302

 

R(I)=CV(I)/(S(I)*S(K))

 

 

WRITE(IW,105)I,R(I)

105

 

FORMAT(1H ,10X,I2,8X,F7.3)

500

 

CONTINUE

 

C

CALCULO DE COEFICIENTES

 

 

WRITE(IW,106)

106

 

FORMAT(///,11X,´MÊS      BETA      GAMA´//)

 

 

DO 1000 I=1,12

 

 

IF(I-1) 700,600,700

600

 

K=12

 

 

GO TO 800

700

 

K=I-1

800

 

BETA(I)=R(I)*S(I)/S(K)

 

 

GAMA(I)=S(I)*SQRT(1.0-R(I)**2)

 

 

WRITE(IW,107)I,BETA(I),GAMA(I)

107

 

FORMAT(11X,I2,6X,F7.3,3X,F7.3)

1000

 

CONTINUE

 

C

GERACAO DE SERIE ESTOCASTICA

 

 

V1=V(1,1)

 

 

VN(1,1)=V1

 

 

RAN=1.0

 

 

RHO=7.0**13

 

 

BN=10.0**10

 

 

LL=12

 

 

XL=LL

 

 

DO 5000 J=1,N

 

 

DO 4000 I=1,12

 

 

IF (J-1)1060,1050,1060

1050

 

IF(I-1)1060,4000,1060

1060

 

Z=0.0

 

 

DO 1100 L=1,LL

 

 

CALL RANF(RAN)

1100

 

Z=Z+RAN

 

 

W=)Z-XL/2.0)/SQRT(XL/12.0)

 

 

IF(I-1)1120,1110,1120

1110

 

K=12

 

 

GO TO 1150

1120

 

K=I-1

1150

 

V1=E(I)+BETA(I)*(V1-E(K))+W*GAMA(I)

 

 

VN(I,J)=V1

4000

 

CONTINUE

5000

 

CONTINUE

 

C

IMPRESSAO DAS VAZOES

 

 

DO 802 I=1,N

 

 

DO 802 J=1,12

802

 

WRITE(IW,801) J, V(J,I),VN(J,I)

801

 

FORMAT(1H ,10X,I2,5X,F7.2,5X,F7.2)

 

C

GRAFICO

 

 

WRITE(IW,771)

771

 

FORMAT(107X,12HVAZAO (M3/S),/,14X,3H0.0,20X,5H100.0,20X,5H200.0,

 

1

20X,5H300.0,20X,5H400.0,/,15X,100(1H*))

 

 

DO 773 I=1,N

 

 

DO 773 J=1,12

 

 

X=1.+99.*V(J,I)/400.

 

 

XE=1.99.*VN(J,I)/400.

 

 

K=X

 

 

KE=XE

 

 

KE=IABAS(KE)

 

 

WA(25)=ASTER

 

 

WA(50)=ASTER

 

 

WA(75)=ASTER

 

 

WA(1)=ASTER

 

 

WE(1)=ASTER

 

 

WA(100)=ASTER

 

 

WE(100)=ASTER

 

 

WA(K)=VALOR

 

 

WE(KE)=VALER

 

 

WRITE(IW,774)J,(WA(L),L=1,100)

 

 

WRITE(IW,777)(WE(L),L=1,100)

 

 

WA(K)=BCO

 

 

WE(KE)=BCO

773

 

CONTINUE

 

 

WRITE(IW,776)

 

 

CALL EXIT

776

 

FORMAT(16X,100(1H*))

774

 

FORMAT(1H ,8X,I2,5X,100A1)

777

 

FORMAT(1H+,15X,100A1)

 

 

END

DADOS:

    45 

   86.50   89.70   80.90   87.70  111.00  176.00  121.00   81.60   63.70   53.80   58.30   43.80

   60.10   46.00   72.90  160.00  199.00  216.00  122.00  112,00   80.50   69.80   62.50   67.20

   64.60   88.10  142.00  148.00  130.00   91.90  103.00   81.50   63,60   56.80   59.80   62.70

   79.00   79.80  131.00  145.00  214.00  157.00  107.00   82.50   71.50   58.40   51.20   62.10 

   79.70   76.50  137.00  147.00  120.00  152.00   84.40  104.00   80.40   61.40   61.90   51.90 

   67.40   60.60  113.00  112.00   81.60   66.30   53.40   54.20   44.00   41.40   36.30   52.20

   50.70   50.80   85.20  154.00  107.00   95.40   75.30   55.00   46.50   41.30   37.10   46.10

   51.00   47.90  132.00   93.60  211.00  125.00   90.00   65.00   58.70   46.80   43.20   59.00 

   84.00   57.40   50.00   63.50   74.30  199.00  124.00   74.10   57.50   48.30   50.30   61.40

   50.70   50.10   90.80  131.00  122.00   75.30   84.60   80.90   61.30   44.00   39.60   34.80 

   60.60   80.70  109.00  132.00  148.00  120.00   93.50   75.80   71.50   56.40   70.70   66.90

   91.20   89.60   99.00  131.00  126.00   95.50  139.00   78.10   62.40   55.00   41.70   43.30

   45.40   63.50   85.90  155.00  201.00  120.00   81.20   68.20   52.60   43.80   38.80   40.40

   57.00   64.50   80.90   96.00   92.20   97.80   66.10   47.40   40.90   41.30   31.40   73.10

   73.70   75.20  103.00   99.90  102.00   94.70   90.40   59.60   50.20   55.30   40.60   39.00 

   42.80   57.40   91.60   96.20   97.60   95.70   59.90   42.40   42.00   35.30   41.80   35.60

   55.10   49.70   70;80   83.80  181.00  201.00   95.40   77.30   55.00   47.40   39.00   38.60 

   37.50   61.60   57.40   88.80  169.00  123.00  104.00   67.00   84.40   64.90   44.10   49.20  

   42.40   52.60   63.50  131.00   95.20  117.00   89.30   56.00   52.50   46.10   37.30   30.80

   65.90   64.00   69.80  170.00  171.00  190.00  117.00   83.60  109.00   85.70   75.10   88.40

   89.20  105.00  153.00  131.00  184.00  176.00  119.00  102.00   81.10   64.60   67.70   61.80

   56.30   63.90   79.60  144.00  131.00  112.00   88.40   58.80   64.50   57.30   47.20   46.20 

   52.90   66.50   79.60  161.00  227.00  196.00  138.00  107.00   81.20   65.70   49.40   48.50

   67.00   75.90  140.00  167.00  178.00  202.00  153.00  101.00   80.40   72.80   64.70   51.90

   68.50   62.60   81.70  140.00  193.00  172.00   99.50   72.60   88.00   61.20   52.30   60.00 

   50.10   70.70   75.80   53.80   86.70   74.00   80.90   69.40   48.90   42.40   42.10   40.50 

   42.70   71.60   63.00   61.20   80.10   73.30   60.00   70.70   50.30   39.30   34.00   34.80 

   51.70   43.60   53.20   97.60   60.00   65.10   65.00   47.60   40.90   35.00   34.40   33.30

   35.50   73.00   72.30   74.40   83.00  117.00   72.30   80.90   71.40   49.90   64.40   46.00

   55.50   60.40   71.70  126.00   98.70  121.00  111.00   70.30   59.40   53.70   46.10   77.30

   53.70   83.20   75.60  101.00  108.00  111.00   96.80  115.00   88.70   65.90   54.90   64.20

   71.40  111.00  134.00  134.00  159.00  131.00  121.00   74.10   57.40   48.90   51.00   43.20

   45.40   65.30   58.20   80.40  159.00  144.00   78.80   68.60   55.60   63.60   53.30   47.50 

   38.50   77.40  114.00  133.00  246.00  198.00  140.00   95.00   77.70   71.70   63.00   53.10 

   38.50   54.20   89.60   89.50  217.00  158.00   90.40   73.20   66.90   54.60   57.80   62.60

   71.60   80.00  127.00  146.00  154.00   99.00   86.00   58.30   60.40   50.00   45.40   26.50

   49.00   70.80   55.80   65.70  111.00   81.40   72.20   62.30   49.50   53.50   44.10   41.30 

   55.20   60.00   89.70  162.00  110.00  116.00   82.00   84.10   68.00   60.10   46.80   48.10

   70.20   70.10  114.00  159.00  117.00  165.00  127.00   86.30   62.90   57.90   62.10   56.90

   74.20  123.00  150.00  218.00  312.00  279.00  147.00  102.00   92.60   81.40   64.70   71.00 

 

RESULTADOS:

MES    MEDIA VAZOES    DESVIO PADRAO

 1         60.4            18.293

 2         71.0            21.358

 3         95.1            32.676

 4        124.4            41.374

 5        144.4            58.390

 6        135.4            52.537

 7         99.9            29.689

 8         76.7            21.139

 9         65.8            18.443

10          5.8            14.296

11         51.0            14.002

12         53.8            18.990

 

MES    CORRELACOES

 1          0.521

 2          0.347

 3          0.467

 4          0.430

 5          0.416

 6          0.551

 7          0.580

 8          0.487

 9          0.527

10          0.587

11          0.513

12          0.427

 

MES    BETA    GAMA

 1     0.502  15.605

 2     0.405  20.027

 3     0.715  28.879

 4     0.545  37.334

 5     0.588  53.079

 6     0.496  43.822

 7     0.327  24.185

 8     0.347  18.456

 9     0.460  15.666

10     0.455  11.570

11     0.503  12.013

12     0.579  17.158

 

 1    50.00   50.00

 2    64.10   96.47

 3    80.00  119.04

 4   102.00   60.79

etc

10    81.40   65.98

11    64.70   71.86

12    71.00   75.03

 

                                      VAZAO (M3/S)

  0.0             100.0           200.0     400.00

   ************************************ ... ****

1 *       GL        *               *         *

2            L     G*               *         *

3 *             L   *  G            *         *

4 *          G      *L              *         *

5 *                 *   L   G       *         *

etc.

11*              LG *               *         *

12*               LG*               *         *

  ************************************ ... **** 

 

botaoinicio.jpg (1223 bytes)

botaovoltar.jpg (1227 bytes)

botaoavancar.jpg (1333 bytes)

 

\ET5\chuvas\estocastico.htm em 25/01/2013, atualizado em 25/01/2013.